Diketahui fungsi g(x)= 1/3 x² − a²x + 1; f(x) = g(2x - 1), a suatu konstanta. jika f naik pada x ≤ 0 atau x ≥ 1, nilai maksimum relatif g adalah?

Diket :
fungsi, g(x) = 1/3.x² - a²x + 1
dan f(x) = g(2x - 1)
dan a = konstanta

Tanya :
Jika f (x) naik pada x ≤ 0 atau x ≥ 1 maka Nilai maksimum relatif g adalah ___?

Jawab :

Step 1
----------
karena g(x) = 1/3.x² - a²x + 1 dan g(2x - 1) maka kita cari dulu nilai fungsi
g(2x - 1) adalah
⇔ g(x) = 1/3.x² - a²x + 1
⇔ g(2x - 1) = 1/3.(2x - 1)² - a²(2x - 1) + 1
⇔ g(2x - 1) = 1/3.(4x² - 4x + 1) - 2a²x + a² + 1
⇔ g(2x - 1) = 4/3.x² - 4/3.x + 1/3 - 2a²x + a² + 1
⇔ g(2x - 1) = 4/3.x² - (4/3 + 2a²).x + a² + 4/3


Step 2
---------
maka fungsi f(x) adalah 
⇔ f(x) = g(2x - 1) 
⇔ f(x) = 4/3.x² - (4/3 + 2a²).x + a² + 4/3


Step 3
---------
mencari apakah fungsi f(x) naik atau turun gunakan turunan pertama fungsi f(x) sama dengan NOL,
⇔ f(x) = 4/3.x² - (4/3 + 2a²).x + a² + 4/3

diturunkan menjadi :
⇔ f(x)' = 8/3.x - (4/3 + 2a²) = 0
⇔ 8/3.x - (4/3 + 2a²) = 0
⇔ 8/3.x = (4/3 + 2a²) 
⇔ x = 3/8.(4/3 + 2a²)
⇔ x = 1/2 + 3a²/4

Step  4
----------
fungsi f(x) akan naik jika 
x ≤ 0 artinya nilai x paling besar agar nilai f(x) naik adalah x = 0
sehingga nilai a² = ... ?
masukkan x = 0 ke persamaan pada step 3, menjadi :
x = 1/2 + 3a²/4
0 = 1/2 + 3a²/4
3a²/4 = - 1/2
a² = - 2/3

sehingga persamaan g(x) menjadi :
g(x) = 1/3.x² - a²x + 1
g(x) = 1/3.x² - (- 2/3)x + 1
g(x) = 1/3.x² + 2/3.x + 1
dimana :
a = 1/3 , b = 2/3 , c = 1
Nilai ekstrimnya adalah 
Y min = (b² - 4.a.c) / (- 4.a)
Y min = [(2/3)² - 4.1/3.1)] / [- 4. 1/3]
Y min = [4/9 - 4/3] / [- 4/3] 
Y min = [4/9 - 12/9] / [- 4/3] 
Y min = [- 8/9] / [- 4/3]
Y min = 8/9. 3/4
Y min = 2/3
 

Step 5
---------
dan fungsi f(x) akan naik saat
x ≥ 1 artinya nilai x paling kecil agar nilai f(x) naik adalah x = 1
sehingga nilai a² = ... ?
masukkan x = 1 ke persamaan pada step 3, menjadi :
x = 1/2 + 3a²/4
1 = 1/2 + 3a²/4
1/2 = 3a²/4
a² = 2/3

sehingga persamaan g(x) menjadi :
g(x) = 1/3.x² - a²x + 1
g(x) = 1/3.x² - (2/3)x + 1
g(x) = 1/3.x² - 2/3.x + 1

dimana :
a = 1/3 , b = - 2/3 , c = 1

Nilai ekstrimnya adalah 

Y max = (b² - 4.a.c) / (- 4.a)
Y max = [(- 2/3)² - 4.1/3.1)] / [- 4. 1/3]
Y max = [4/9 - 4/3] / [- 4/3] 
Y max = [4/9 - 12/9] / [- 4/3] 
Y max = [- 8/9] / [- 4/3]
Y max = 8/9. 3/4
Y max = 2/3

Jadi nilai maksimum relatif g adalah 2/3


____________________________________
)|(

FZA